Quadrados Mágicos

Os quadrados mágicos são diagramas conhecidos desde a antiguidade. O registro mais antigo remonta à China de 2207 a.C., onde o rei Da Yu encontrou nas margens do rio Lo um casco de tartaruga com desenhos inscritos, uma estrutura puramente imagética que, mais tarde, seria substituída por algarismos.

 

    O quadrado mágico, do jeito que conhecemos, é um conjunto de números distribuídos simetricamente em linhas e colunas, de forma que a soma dos algarismos seja sempre a mesma, para todas as direções. O mais simples é o quadrado mágico que corresponde aos desenhos encontrados no casco da tartaruga e, posteriormente, chamado de quadrado mágico de 3 x 3 por Pitágoras:

 

4    9    2 

3    5    7

8    1    6

Neste exemplo, percebemos que tanto as somas das linhas ou das colunas (bem como as diagonais) resultam em 15, considerado a constante do quadrado. A constante é o número que não é visível à primeira vista, mas que designa a posição de cada número dentro da matriz, agindo como uma espécie de “fio invisível” que amarra um algarismo no outro.

Existem diferentes métodos de resolução dos quadrados mágicos e eles remontam a idéia de algoritmos, uma sequência de tarefas que realizam determinada função. Por isso o estudo dos quadrados mágicos é comum para os que estudam linguagens de programação, além de ter ressonância no cubo mágico de Rubik, pois ambos sugerem um pensamento matemático, lógico e racional, demonstrando novamente que a linguagem precede o meio pelo qual se propaga.

A magia dos quadrados mágicos consiste em ter, ao mesmo tempo, uma análise qualitativa e quantitativa dos algarismos: além de possuírem um valor representativo de quantidade, relacionado diretamente ao número, o quadrado se refere a distribuição dos números dentro de um espaço, uma idéia organizacional, que, à primeira vista, assemelha-se ao completo caos (já que a lógica de construção se mantém oculta numa análise superficial).

Voltando aos desenhos econtrados por Da Yu no casco de tartaruga, notamos que a organização não era, aparentemente, relacionada com números, mas sim com elementos distribuídos no espaço. Alguns diagramas encontrados possuem letras, ao invés de números, como o caso do quadrado SATOR, de origem greco-latina:

 

S    A    T    O    R 

A    R    E    P    O

T    E    N    E    T

O    P    E    R    A

R    O    T    A    S

 

O exato significado do quadrado SATOR é desconhecido e várias interpretações foram feitas ao longo dos tempos. A própria estrutura do quadrado permite diversas interpretações e ordens de leitura, uma espécie de poesia concreta que precede em alguns séculos o momento limite da arte, protagonizado pelos poetas concretos e neo-concretos. 

Os elementos do quadrado se encontram firmemente amarrados, como se não pudessem estar em outra posição. Demonstra uma forte integração entre parte e todo, e por isso era considerado talismã por muitas culturas, sendo utilizados, por exemplo, na medicina sufi como forma de alcançar a cura. Segundo Sylvia Leite,

“(…) essas palavras produziriam uma vibração cósmica capaz de atrair, para o doente, a harmonia divina. (…) a expectativa de que o contato com a estrutura de um determinado arranjo possa, por simpatia, influenciar e, consequentemente, organizar o órgão ou tecido doente, propiciando a sua recuperação”. (LEITE, Sylvia. O simbolismo dos padrões geométricos da arte islâmica. pp. 43)

Ainda segundo a autora, essa crença era baseada na idéia de que uma doença seria o resultado de uma desorganização à nível celular.

 

Outro interessante aspecto do quadrado mágico é que, qualquer que seja a ordem ou a constante, contém algarismos que sugerem outros externos, como uma réplica espelhada de si mesmo. Vejamos por exemplo o quadrado de 3 x 3, espelhado em torno de si mesmo:

Os quadrados preenchidos levemente com tom acinzentado demonstram que outros quadrados passam por dentro do quadrado central. Ele não sugere apenas uma organização dentro de si mesmo, mas uma organização que é multiplicidada em torno de si, demonstrando que os algarismos também se relacionam com outros, aparentemente invisíveis, assim como a constante do quadrado.

Quando analisamos os quadrados mágicos através dessa perspectiva, percebemos que podemos considerá-los tanto como parte ou como todo, dependendo apenas da escala em que o observamos. Novamente, se fizermos uma observação ainda superficial, sem considerar a soma dos algarismos, podemos ver nessa nova escala uma certa ordem que não aparecia no quadrado isolado.

Faz-se necessário nesse momento compararmos a idéia subjetiva dos quadrados mágicos com o que traduzem os fractais. Essas formas de terrível beleza possuem simetria em escala, ou seja, por mais que nos aproximamos ou nos afastamos da imagem, temos a impressão de sempre estar no mesmo lugar, pois as estruturas são replicadas infinitamente para dentro e para fora de si mesmas.

Assim acontece com os quadrados mágicos, que ao serem replicados num plano bidimensional, demonstram uma interconexão entre os elementos, uma simetria assimétrica que transcende o que é observado à primeira vista. Esse fenômeno acontece na natureza, quando observamos estruturas em diferentes escalas: a distribuição das árvores em uma floresta, quando nos encontramos dentro dela, pode nos parecer caótica e desordenada. No entanto, ao sobrevoar a floresta com um helicóptero, percebemos que as árvores seguem uma certa ordem, e que, como elementos, estão posicionadas exatamente no lugar onde deveriam estar, assim como os algarismos contidos dentro dos quadrados mágicos.

Essa organização natural não é feita racionalmente, mas segue o fluxo dos fios invisíveis que podem ser descritos cientificamente, se tivermos controle sobre as inúmeras variáveis que determinam essa organização. Em contrapartida, a própria organização é uma variável dentro do processo, ao passo que também determina as variáveis que são por ela influenciadas. Podemos exemplificar isso utilizando a mesma idéia da distribuição das árvores em uma floresta:

Um pássaro é uma variável, ao passo que transporta sementes que são largadas em diferentes lugares dentro da floresta. Outros agentes polinizadores como insetos, o vento e a chuva também influenciam na organização e distribuição das árvores. Ao mesmo tempo, esses agentes são influenciados por estas: a árvore se torna abrigo para pássaros e insetos, além de ser uma barreira natural para o fluxo do vento e das chuvas. Todas essas variáveis ainda conversam e são responsáveis pelo clima da região. Por isso, qualquer alteração em uma das variáveis se torna uma bola de neve. É essa a idéia do efeito borboleta.

Assim como nos quadrados mágicos, a imagem que temos ao sobrevoar uma floresta é apenas um resultado do que realmente existe por trás dessa configuração. Podemos até enxergá-la como um todo, mas ainda, em uma escala ainda mais distante, veremos que é uma variável juntamente com outras vegetações espalhadas pelo planeta.